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莫菲的果醬吐司

曾耀寰/任職於台大物理系


墨菲上尉是美國空軍的機械人員,他在1949年參與空軍的一項MX981計畫,研究在墜機時,人類對立即減速的容忍程度。有一回看似完美的測試卻發生錯誤,墨菲上尉發現有些電子線路連接錯誤,於是他說出一句至理名言:“Anything that can go wrong will go wrong”(任何可能會出錯的地方,就一定會出錯。)此乃墨菲第一定律。

落地的果醬吐司
又是個暖洋洋的星期日早晨,像把利刃的太陽光穿透窗簾布間的空隙,無聲無息地掉落在地毯上。墨菲伸了個懶腰,坐起身來,少了趕上班的焦慮,終於可以慢條斯理地下床、刷牙、洗臉,並且從容地準備一份平時所沒有的早餐,厚片吐司加上果醬,咖啡、報紙一應俱全,這簡直是辛苦一週後的報償。眼睛正在搜尋週日才有的專輯特刊,右手端起象牙白的咖啡杯,啜飲一口香醇的卡布其諾,咖啡杯在放回桌子的時候,不幸的事情發生了,原先平放在桌角的果醬吐司翻落了下來,千萬不要!但,塗抹果醬的那面吐司一點也不猶豫地親吻了乳白色的地毯,毀了一個美好的星期日早晨。

也許你沒有過這種掃興的經驗,不過想起來還真令人搥胸頓足,更氣人的是,每次都是塗果醬的那面吐司朝下,就像墨菲定律所說的。果醬吐司面朝下是否有更深層的意涵?或只是簡單的物理定律,果醬吐司的運動狀態是否符合科學?接下來是一些科學家對果醬吐司面朝下的解釋。

對於物體運動的狀態可以用古典物理來解釋,所謂運動狀態,是要了解這個物體的外形隨時間產生的變化,和隨時間在空間位置的變化。例如用手捉住貓咪的四隻腳,讓貓咪以四腳朝天的模樣從半空中落下,這時貓咪的運動狀態是以自由落體的方式落地,它在每個時間的位置都可以用簡單的國中物理算出來,基本上你在同一個高度放開一顆石頭,這顆石頭落下的情形和貓咪一樣,誇張一點描述,即使是一根羽毛,掉落的狀態也和貓咪一樣。傑克!這真是太神奇了!也許我們應該說:伽利略!這真是太神奇了!(伽利略的比薩斜塔實驗就是要證明這一點。)貓咪除了落下的位置變化外,還有神奇的懸空轉身絕技,確保落到地面的時候,不會摔得四腳朝天,也就是說貓咪的身軀外形會有扭轉的動作,因此要了解貓咪落下的運動狀態,除了自由落體的高度變化,還有身軀外形隨時間的扭轉變化。果醬吐司的運動狀態又是如何?

吐司的角速度
過去十年內,在文獻當中出現幾篇有關吐司翻轉的研究,這些研究除了證明吐司塗抹果醬或奶油的那一面會朝下外,並嘗試提出解釋。早期有Matthews 和Steinert分別提出簡單的理論解釋此一現象,在他們的研究當中都不考慮吐司本身的厚度,也就是說一般的吐司和厚片吐司的翻轉情形是相同的。另外他們都假設移動吐司的推力大於最大靜摩擦力的時候,吐司才開始離開桌面,這會影響吐司開始滑落的時候,吐司和桌面的夾角。根據常見的靜摩擦係數(0.2∼0.6),研究發現吐司從離地面76公分的桌面落下,吐司在落到地面之前所翻轉的角度不會超過270 度,也就是說若將抹好果醬的吐司放在桌上,塗果醬的那一面朝上,當推動吐司,讓吐司從桌面上落下,經過高度76公分的翻轉後,塗果醬的那一面吐司會朝下。但是Steinert發現,如果突出(overhang,指吐司的中心點到桌角的距離)較小的情形,吐司翻轉的角度通常不超過90度,塗果醬的那面會朝上,這和Matthews的研究結果相反,Matthews認為即使突出較小的情形,塗果醬的那面吐司仍然朝下。

通常科學家在研究問題的第一步就是建立一個簡單的模型,所謂簡單,就是說用這個模型所做的研究可以抓住整個問題的核心,對於一些枝微末節的問題能夠省略不計,針對果醬吐司的問題,我們可以將吐司想像成一塊長11 公分、寬10 公分、厚1.5 公分的光滑木板,將這塊吐司模型放在桌角(圖一),根據牛頓的第二運動定律,我們可以對吐司模型的中心點掉落到地面的運動狀態進行計算,基本上就是自由落體的計算。另外吐司模型離開桌面的時候,整個吐司模型會有翻轉的現象,這也可以用力矩和角速度的方程式來計算,這個方程式的長相和牛頓第二運動定律的方程式類似,第二運動定律的方程式表示:F=ma,作用力等於物體的質量乘上物體運動的加速度,或者說作用力等於動量隨時間的變化,只要知道作用力,就可以從方程式算出物體在不同時間的位置。力矩和角速度的方程式則說明,力矩等於角動量隨時間的變化,如果知道力矩的大小,就可以算出物體在不同時間的翻轉角度了。


有了這兩個方程式,我們還需要知道吐司模型的初始條件,所謂的初始條件就是吐司模型一
開始的狀態,針對牛頓第二運動定律的初始條件就是吐司模型一開始的高度,也就是桌子的高度,另外就是吐司模型剛開始的運動速度,在這個模型當中,初始速度為零,吐司模型是從靜止的狀態開始。吐司模型受到推力逐漸朝桌角移動,當吐司模型開始掉落的時候,它是和桌面呈某個傾斜角度,而吐司模型一開始的角速度就和這個傾斜角有關。有了這些初始條件,就可以透過兩個方程式計算出吐司模型的運動狀態,也就是掉落的高度和翻轉的角度,最後就可以得知落到地面的時候,吐司模型和地面之間的夾角,判定吐司模型塗上果醬的那一面是否朝下。

大致上來說,科學家可以透過方程式求得吐司模型的角速度,假設剛開始的傾斜角度為30度,這個角速度(ω)就可以用一個簡單的式子表示:
果長度為11公分,那麼可以算出吐司模型每秒轉1. 44圈。吐司模型從高度為h 的桌面掉到地面,所需的時間為t= √2h/g ,在這段時間內,吐司模型總共旋轉了ωt圈,加上一開始的30 度(0.083圈),就可以得到吐司模型落到地面的時候總共轉了︰
若以常見餐桌為例,桌面距離地面的高度為76公分,則吐司模型大約在空中轉了0.65圈(234度)後掉落地面,也就是說塗果醬的那一面朝下。

吐司與摩擦力
其實事情並沒有那麼簡單,雖然整個吐司的大致行為可以用兩條簡單的方程式加以描述,但從之前的分析,或從數學的觀點來看,吐司翻滾下來的最後結果是和起始條件有關,也就是吐司剛開始的高度和掉下來的速度,以及吐司離開桌面時的傾斜角和角速度。通常初始的掉落速度可視為零,而初始高度則取決於桌面的高度,桌面高度又決定吐司在半空中停留的時間,這個時間就會影響吐司翻轉的時間。另一個控制吐司朝上或朝下的因素就是吐司剛開始的傾斜角度和翻滾的快慢,這兩個因素就和吐司的摩擦力有關。

在不考慮吐司厚度的情況下,兩個方程式經過一番運算可以得到摩擦力和吐司在桌面的正向力之間的比例關係,也就是摩擦係數,摩擦係數是和tanα有關(α即為傾斜角),而傾斜角可以推算出角速度。假設吐司從桌上開始滑動,便立即掉落桌面,則摩擦係數為靜摩擦係數,合理的靜摩擦係數在0.2 到0.6 之間,這就可以推算出傾斜角的大小,進而推算吐司的初始角速度,理論上看起來一切是OK 的。

實驗結果到底如何?科學家並沒有真正地將吐司的一面塗上果醬,然後從桌面上推下,通常為了控制變因,科學家會使用一些理想狀態的吐司— 一塊木板,這對重複實驗較為方便。科學家用高速攝影機拍攝吐司離開桌面時的傾斜角和角速度,結果發現:若用合理的靜摩擦係數,得到的初始角速度遠小於實際測量的角速度,但是若用攝影機測量出來的傾斜角,推算出來的角速度就和測量的角速度相當。怎麼會這樣呢?如果給了正確的傾斜角,就可以推算出正確的角速度,表示科學家用的方程式應該沒有問題,但給了合理的靜摩擦係數,則得到較小的角速度,這時方程式看起來又不管用。科學家認為問題可能出在摩擦力,另外可能是吐司的厚度。

我們知道摩擦力可分為靜摩擦力和動摩擦力,推動一塊靜止在地上的大石頭和正在滾動的同一石頭,二者所需的推力並不相同,通常靜摩擦力大於動摩擦力,因此吐司是一開始滑動就掉落下來,或者是滑動一會兒才掉落下來,二者所受的摩擦力並不相同,不同的摩擦係數就會產生不同的傾斜角,推算出不同的初始角速度。將不同的摩擦係數和吐司的厚度都考慮進去,算出新的公式,結果發現,吐司的厚度對角速度的影響不大,摩擦係數則否,採用動摩擦係數,會得到與實驗相符的角速度。

果醬面朝下絕非巧合
經過這些計算之後,果醬吐司的墨菲定律是否只是個巧合?正巧吐司和桌面的摩擦係數,以及桌面的高度會造成塗抹果醬的那一面吐司會朝下落到地面。大致上來看,吐司從常見的桌面高度落下,吐司並沒有太多的時間可以在落地前翻轉一圈以上,因此大多數情形都是令人不快的結果—果醬面朝下,這種桌面高度是否純屬巧合,英國物理學家Matthews 並不這麼認為,Matthews在1995年的一篇論文中提到,桌面的高度會和人類的身高有關,而人類的身高並不是一件巧合的事,根據哈佛大學科學家Press 在1980 年的研究,兩足動物受到地球重力的作用,身高必然有所限制。由於兩足站立的動物比較不穩,如果兩足動物長得太高,便容易摔倒,造成頭部受創,危及生命。Matthews進一步研究發現這個高度不僅和重力有關,也和骨頭的強度有關,而骨頭的強度取決於骨頭內分子的化學鍵強度,也就是電磁強度。根據他的計算,兩足動物的身高最後會和物理學中的一些常數有關,例如光速、萬有引力常數、普朗克常數和真空介電常數。因此這個高度是放諸全宇宙皆準,即使是生活在宇宙另一角落的外星人,如果他也是兩足行走,他的身高也會有相同的限制,當然他也有可能從桌面掉下一塊吐司。

看起來塗有果醬的吐司面朝下,並不是巧合,它和大自然的一些物理常數有關,也就是說在宇宙大霹靂發生之後,所有的宇宙常數都已經確定,這些常數會影響一百多億年後的地球,甚至影響到從桌面上掉落的吐司。在侏羅紀公園中的數學家曾舉一個有關氣象的混沌理論,他說在北京的一隻蝴蝶拍打翅膀的動作,可能會引起紐約中央公園一場傾盆大雨。和這個吐司相比,混沌理論似乎有些小巫見大巫。

參考資料
1. Darryl Steinert (1996),"It's not Murphy's law, it's Newton's", Phys. Teach. 34, p288 
2. M.E.Bacon, George Heald, and Matt James(2001),"A closer look at tumbling toast", Am. J. Phys. 69, p38
3. Robert A. J. Matthews(1997),"The science of Murphy's law", Scientific American, April 1997,p88
4.IanStewart(1995), "The anthropomorphic principle", Scientific American, December 1995, p104
5. Robert Ehrlich(1997), Why toast lands jelly-side down, Princeton Univ. Press